這是少年商學(xué)院（ID：youthmba）的第1075次分享。是上周少年商學(xué)院國(guó)際教育視頻直播公開課的文字精華，作者即分享嘉賓為美國(guó)范德堡大學(xué)（Vanderbilt University）數(shù)學(xué)教育學(xué)博士趙晴。
大家好，感謝少年商學(xué)院的邀請(qǐng)，能通過(guò)視頻直播的方式，和大家就中小學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，和中美教育方式的如何取長(zhǎng)補(bǔ)短，來(lái)做分享。
我今天跟大家分享三個(gè)話題：
1、數(shù)學(xué)思維是什么？
2、中國(guó)孩子美國(guó)孩子到底誰(shuí)的數(shù)學(xué)好？
3、學(xué)數(shù)學(xué)的興趣從哪來(lái)？（推薦7本好書和1門課程）
▋數(shù)學(xué)思維是什么？
在講數(shù)學(xué)思維之前，先跟大家簡(jiǎn)單做一個(gè)區(qū)分，數(shù)學(xué)性思維和學(xué)校數(shù)學(xué)是一回事嗎？先給大家講個(gè)真實(shí)的故事，下面圖片里面的這個(gè)小姑娘叫做Amber，一年級(jí)的美國(guó)小姑娘。有一次我們給她出了一道題：16+9等于多少？
第一張圖里是個(gè)豎式，這就是典型練習(xí)冊(cè)里面的豎式?？梢钥吹叫∨⒑芘Φ鼗貞浖臃ǖ囊?guī)則，然后她就給出了一個(gè)答案，等于15。
然后我們就跟她說(shuō)，我們現(xiàn)在換一種方式來(lái)，我們用塑料數(shù)字排成一排，16+9等于多少。美國(guó)小朋友都喜歡往上加，最基本的加法，16、17、18、19，加完了之后她跟我說(shuō)，是25。
我們就問(wèn)她為什么一個(gè)題為什么得出了兩個(gè)不同的結(jié)果呢？這兩個(gè)答案是不是都對(duì)啊？
圖三可以看到，她那時(shí)候在笑，她其實(shí)在想著怎么回答我們這個(gè)問(wèn)題，她想完后跟我們說(shuō)，兩個(gè)答案都對(duì)。
我們又問(wèn)她，所有情況下兩個(gè)答案都對(duì)嗎？然后她想了想說(shuō)，都對(duì)。
所以這是怎么回事，問(wèn)題就在于她在做豎式的時(shí)候，她腦子里想的都是做豎式的規(guī)則是怎么做的；這時(shí)她并沒(méi)想到，她如果有16個(gè)蘋果，再加多9個(gè)蘋果，到底這個(gè)“量”的變化會(huì)是多少。
這個(gè)小孩究竟有沒(méi)有基本的數(shù)學(xué)性思維呢？當(dāng)然有，她能做對(duì)那個(gè)量的變化，但在第一道題的時(shí)候，豎式卻體現(xiàn)不出她的數(shù)學(xué)思維。雖然我們的豎式，是為了讓他們把數(shù)學(xué)這個(gè)計(jì)算做得更簡(jiǎn)單，但有時(shí)候在他們看來(lái)，這根本就和現(xiàn)實(shí)生活中的，是兩回事。
如何培養(yǎng)小孩子的數(shù)感，數(shù)感不是數(shù)數(shù)，而是得知道這個(gè)量的變化是怎么來(lái)的，我們不是要去背這個(gè)順序，而是得弄明白這個(gè)量是怎么變化來(lái)的。我們需要跟孩子去討論其中量的變化是怎樣的，只有這樣我們才能把數(shù)學(xué)的數(shù)感上升到量的概念。
量的規(guī)律和劃分
比如說(shuō)我們看到下面這張圖，就是四個(gè)網(wǎng)球拍，我們可以問(wèn)他們，這圖片里面有幾根球拍，他們都會(huì)說(shuō)4個(gè)球拍，這時(shí)你就可以問(wèn)他們，你們是怎么知道這是四個(gè)球拍的??？
他們這時(shí)可能會(huì)說(shuō)，兩個(gè)+兩個(gè)=4個(gè)，也有可能會(huì)說(shuō)，這是1個(gè)+1個(gè)+1個(gè)再+1得到的，那么兩個(gè)方法相比較起來(lái)，你就會(huì)發(fā)現(xiàn)很顯然2+2，比1+1+1+1更先進(jìn)，為什么更先進(jìn)了呢？因?yàn)檫@個(gè)方法更高效。
實(shí)際上，我們?nèi)绻?0以內(nèi)的數(shù)字形象化，甚至到10以內(nèi)的網(wǎng)球拍所代表的數(shù)字，我們都應(yīng)該建立一個(gè)形象化的視覺體現(xiàn)。視覺體現(xiàn)指的是，孩子一看到這個(gè)，一下子就能反應(yīng)出，這個(gè)數(shù)字是什么。這個(gè)就是我們所說(shuō)的規(guī)律性的視覺體現(xiàn)。
如果我們跟小孩繼續(xù)這個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)話，這時(shí)你就可以跟他討論，如何證明你把所有能證明的四種方法，都給找到了呢？在這種過(guò)程中，我們其實(shí)就是在培養(yǎng)孩子的數(shù)學(xué)思維。
我們?cè)趲椭『⒔?shù)學(xué)性思維的時(shí)候，肯定要用到大量的圖表工具來(lái)輔助；
當(dāng)小孩看到下面這張圖的時(shí)候，我們希望他就立馬意識(shí)出來(lái)，這至少是兩個(gè)數(shù)。
上面一排代表的是5，下面是3，更加高階的小孩應(yīng)該一下子就認(rèn)出這是8，孩子們這時(shí)候更加可以看出，3+5=8，甚至是8+2=10，這個(gè)實(shí)際上是在10的范圍內(nèi)，把這些數(shù)字進(jìn)行量的變化。
我們還有這樣一個(gè)課題：我們管它叫糖果工廠。
通過(guò)糖果工廠的例子，實(shí)際上是跟小朋友進(jìn)行一個(gè)十進(jìn)制的一個(gè)討論。比如我現(xiàn)在在一個(gè)糖果工廠里面，我們的糖散落得一地都是，這時(shí)候怎么辦呢？
我們把它包起來(lái)行不行，一顆一顆糖不好數(shù)，我們就把它包成包。那么怎么包比較好？最后大家統(tǒng)一得出一個(gè)結(jié)論，是十塊糖一包，是最好的包裝。
我們這樣一小包一小包糖，數(shù)量有限，如果有的人要買更多，怎么辦？那咱們能不能把一包一包的糖，放到更多大的盒子里？那一盒子里面，應(yīng)該有多少包糖呢？慢慢地大家又得到了共識(shí)。于是我們一包一個(gè)大的盒子，里面有10小包這樣的糖。
你看，我們把一顆糖，變成一包糖的時(shí)候，我們就是在討論，一變成十的過(guò)程。而一包糖變成一盒糖，我們討論的則是，十變成一百的過(guò)程。
比例性思維
除了數(shù)感，數(shù)學(xué)里面還有一個(gè)很重要的概念。不管是小學(xué)生還是初中生，可能都會(huì)對(duì)百分?jǐn)?shù)或者是分?jǐn)?shù)會(huì)有很多的困惑，這算是他們剛開始學(xué)數(shù)學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)，我們要說(shuō)的是比例性思維。
比如，周末全家出游，要給車子加油，我們車子大概一公升油可以跑15公里，
現(xiàn)在爸爸告訴小朋友說(shuō)，我們車子現(xiàn)在有5升油?？墒俏覀円サ墓珗@，來(lái)回有80公里，那么趕緊決定一下，現(xiàn)在是不是要加油了？這個(gè)就是一個(gè)比例性思維的問(wèn)題。
加油的例子涉及到兩個(gè)變量，一個(gè)是路程，一個(gè)是我們覆蓋的公里數(shù)，孩子們需要在腦子里面建立這樣一個(gè)數(shù)字形象：隨著汽油的消耗，覆蓋的路程就會(huì)增加。
他腦子里面，要有兩個(gè)同時(shí)遞增變量的形象的建立。這個(gè)在剛開始的時(shí)候，就需要我們的家長(zhǎng)大量去輔助，幫他們?nèi)ギ嬍疽鈭D，幫他們建立這個(gè)量的概念，這也是以后我們分?jǐn)?shù)概念里，一個(gè)非常關(guān)鍵的步驟。
對(duì)于很多同學(xué)來(lái)說(shuō)，他們想要掌握的一點(diǎn)，就是數(shù)學(xué)的表達(dá)式，是應(yīng)該解決數(shù)量變化的關(guān)系，而不是單純的符號(hào)游戲。我們實(shí)實(shí)在在地跟一個(gè)數(shù)量在打交道。如果能把這個(gè)數(shù)量的變化，和數(shù)學(xué)表達(dá)式完美地結(jié)合起來(lái)的話，就不會(huì)出現(xiàn)我們所說(shuō)的數(shù)學(xué)性思維和學(xué)校數(shù)學(xué)之間的鴻溝。
這樣就不會(huì)出現(xiàn)，像上面的美國(guó)小姑娘，告訴我們有兩個(gè)答案的回答了。
▋數(shù)學(xué)中國(guó)小孩和美國(guó)學(xué)生對(duì)比，誰(shuí)的數(shù)學(xué)更好？
從TIMSS 這個(gè)組織做的全球普查可以看到，2011年60多個(gè)國(guó)家四年級(jí)小學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)調(diào)查，其中可以看出，美國(guó)孩子的平均分是541分，而其他比美國(guó)成績(jī)還高的國(guó)家，基本上都是亞洲學(xué)生：新加坡、韓國(guó)、香港、臺(tái)北和日本。
我們?cè)賮?lái)看這個(gè)圖表，在這個(gè)圖表里面，上面這個(gè)柱形圖代表的，是他們的成績(jī)，下面的柱形圖，代表小朋友自己有沒(méi)有信心，在將來(lái)從事科學(xué)研究。
家長(zhǎng)應(yīng)該想象一下，應(yīng)該是成績(jī)比較好的小朋友越有信心，對(duì)嗎？可是我們看這兩個(gè)柱形圖卻截然相反。我們最右邊的這一列，這是美國(guó)的小朋友的信心指數(shù)，但他們是數(shù)學(xué)成績(jī)最低的這幾個(gè)國(guó)家之一。
所以這就變成了一個(gè)矛盾，就是我們到底是想培養(yǎng)非常有自信，但一個(gè)學(xué)習(xí)不是最好的小孩，還是說(shuō)我們想要一個(gè)學(xué)習(xí)特別棒，但是對(duì)自己將來(lái)能不能從事科學(xué)研究沒(méi)有信心的學(xué)霸呢？為什么有這種差距？
中國(guó)的學(xué)生在數(shù)學(xué)方面的優(yōu)勢(shì)：
首先我們有一個(gè)文化的優(yōu)勢(shì)，我們的中文語(yǔ)言，非常適合學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。我們的中文發(fā)音簡(jiǎn)短，非常干脆，所以讓小朋友從小就對(duì)數(shù)字特別敏感，它更容易記憶。這是我們先天的語(yǔ)言優(yōu)勢(shì)。
我們的語(yǔ)言描述，我們對(duì)數(shù)字的名稱里面，就包含了一個(gè)加法的概念，這個(gè)是非常重要的，而英語(yǔ)里面就不具備這個(gè)特征。比如十一，就相當(dāng)于 10 +1；十二 就相當(dāng)于10 + 2。
我們?cè)诮虒W(xué)方面，其實(shí)有很多的方式，我們最典型的就是，普遍的亞洲國(guó)家都有這個(gè)現(xiàn)象，就是大量的數(shù)學(xué)練習(xí)，和大量的數(shù)學(xué)課時(shí)。這一點(diǎn)是非常有用的，光有理解，沒(méi)有大量的練習(xí)，肯定是不行的。
美國(guó)學(xué)生的優(yōu)勢(shì)：
美國(guó)小朋友，也有他們特別的文化優(yōu)勢(shì)。首先就是他們比較重視的，是對(duì)人的培養(yǎng)。他們對(duì)批判性思維的重視程度，遠(yuǎn)比這種學(xué)科技能的重視程度更重要。他們往往培養(yǎng)的，是學(xué)生們做調(diào)查研究的能力，這個(gè)問(wèn)題你可以不會(huì)，但是你要有能力去做調(diào)查研究，去上網(wǎng)調(diào)查，去圖書館。然后你就可以做到，從不會(huì)，變成會(huì)了。
調(diào)查研究的能力是根本，批判性思維和調(diào)查研究的能力，這兩者是相輔相成的。
他們從很小的時(shí)候，就開始在學(xué)校里學(xué)寫議論文，可我們很多小朋友在初中之前，寫的都是記敘文。
他們?cè)谧鲆粋€(gè)科學(xué)的題目的時(shí)候，往往需要小朋友去把它變成海報(bào)，或者小組討論，最后還要上臺(tái)，把你的結(jié)論分享給其他的同學(xué)。那么這個(gè)鍛煉就是他們的上臺(tái)演講的能力，所以他們的這個(gè)數(shù)學(xué)課，往往是一個(gè)綜合能力的一個(gè)全面的教學(xué)。
這張圖片是小朋友做的，用憤怒的小鳥表現(xiàn)出來(lái)的一個(gè)拋物線的圖。這樣就完全搞得跟平面設(shè)計(jì)差不多了是吧。然后能看到，他們的數(shù)字并不只是數(shù)學(xué)，還有美術(shù)，就是怎么把自己感興趣的東西，變得特別漂亮。同時(shí)里面我們討論一個(gè)數(shù)字概念，一個(gè)拋物線的事。在中國(guó)，這些基本上是很少發(fā)生的，但這些形式和內(nèi)容，對(duì)于美國(guó)的小朋友來(lái)說(shuō)都是家常便飯。
所以這個(gè)問(wèn)題，到底誰(shuí)的數(shù)學(xué)更好，就不僅僅是一個(gè)數(shù)學(xué)這么簡(jiǎn)單的一個(gè)事了。我們要做的就是，要把這兩者的優(yōu)勢(shì)結(jié)合起來(lái)，與此同時(shí)，我們可以加強(qiáng)對(duì)小朋友學(xué)數(shù)學(xué)的信心，讓他們有信心從事與數(shù)學(xué)相關(guān)的職業(yè)。我想這一點(diǎn)都是大家認(rèn)同的。
▋學(xué)數(shù)學(xué)的興趣是哪來(lái)的？
我們可以把學(xué)數(shù)學(xué)的興趣細(xì)分，其實(shí)有三種不同的興趣。
第一層環(huán)境興趣，什么叫環(huán)境興趣，就是我為什么要學(xué)數(shù)學(xué)。外界因素導(dǎo)致孩子想去學(xué)數(shù)學(xué)，或者有其它原因，驅(qū)使他把數(shù)學(xué)學(xué)得更好，這就是環(huán)境造成的。
第二層是情景興趣，小朋友們?nèi)绻X得，這是一個(gè)非常有意義的話題，他們很認(rèn)同，我們把這個(gè)話題一展開，他們就顯得特別有興趣，結(jié)果也是這種興趣，驅(qū)使他們?cè)敢馍钊氲厝ビ懻撨@個(gè)話題，里面所包含的數(shù)學(xué)內(nèi)容，這就是我們所謂的情景興趣。
第三層是我們更想強(qiáng)調(diào)的興趣，就是學(xué)科興趣，所謂的學(xué)科興趣，就是小朋友真正的愛學(xué)數(shù)學(xué)，一個(gè)叫數(shù)學(xué)的游戲，然后這個(gè)游戲，有一個(gè)真正的興趣。
孩子會(huì)慢慢在整個(gè)數(shù)學(xué)論證的過(guò)程中，產(chǎn)生強(qiáng)烈的興趣，就是你數(shù)學(xué)最后的答案，和我的答案為什么不同，為什么咱們得到這個(gè)答案的過(guò)程不一樣，哪個(gè)更好，哪個(gè)更簡(jiǎn)單更有效。
那么在討論好和不好的時(shí)候，標(biāo)準(zhǔn)是什么？這就是我們學(xué)好數(shù)學(xué)一個(gè)最根本，也是我們最希望看到的一個(gè)動(dòng)力，就是他能夠進(jìn)行一個(gè)數(shù)學(xué)性的討論，一個(gè)數(shù)學(xué)性的對(duì)話。
剛才簡(jiǎn)單介紹的了這三層興趣，對(duì)于家長(zhǎng)來(lái)說(shuō)意味著什么？
第一就是要多鼓勵(lì)孩子，你讓他學(xué)數(shù)學(xué)的精力，或?qū)W數(shù)學(xué)的感受，變成一個(gè)正面的，積極的，有正能量的事。還有就是，可以跟孩子多聊一聊，跟數(shù)學(xué)有關(guān)的職業(yè)，怎么能通過(guò)數(shù)學(xué)，更好地幫助別人。
再有通過(guò)游戲來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題，就像我們剛才提到的，游戲解決實(shí)際問(wèn)題，給汽車加油這樣的問(wèn)題，在實(shí)際生活里面，幫小朋友建設(shè)一個(gè)數(shù)學(xué)概念。
我們成年人愛把游戲和工作，作為一個(gè)區(qū)分的詞匯，一定意義上來(lái)說(shuō)，游戲和工作，變成了兩個(gè)對(duì)立的概念?？墒?strong style="color: #3e3e3e;">對(duì)于孩子來(lái)說(shuō)，游戲是一個(gè)非常嚴(yán)肅的事情，這是他們學(xué)習(xí)，認(rèn)識(shí)世界的途徑。他們真正感興趣的，是通過(guò)這個(gè)游戲，他能學(xué)到什么，他能看到什么新的概念。這就是為什么我們要重新認(rèn)識(shí)一下，什么叫做游戲?qū)π∨笥训囊饬x。
再次感謝少年商學(xué)院，每周的國(guó)際教育公開課，為大家提供原汁原味的歐美教育與學(xué)習(xí)方法的干貨。今天的最后，我給大家推薦幾本跟數(shù)學(xué)教學(xué)相關(guān)的好書，一本就叫《兔子的12個(gè)大麻煩》，這是一個(gè)手繪本，然后打開之后還有一個(gè)大的驚喜，是跟一群小兔子有關(guān)的他們的數(shù)學(xué)，所以有助于培養(yǎng)小朋友對(duì)數(shù)學(xué)的綜合興趣。
第二套書是叫《數(shù)學(xué)幫幫忙》，它是根據(jù)不同的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)階段，不同的學(xué)習(xí)話題，從很小，到更高一點(diǎn)的數(shù)學(xué)思維。分成了很多本，家長(zhǎng)朋友可以根據(jù)自己孩子數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)階段做一個(gè)選擇。
另外兩本，一被本叫《數(shù)學(xué)真好玩》，這個(gè)實(shí)際上也是一個(gè)籠統(tǒng)培養(yǎng)小數(shù)學(xué)興趣的一本書。
另一套叫《冒險(xiǎn)島的數(shù)學(xué)奇遇記》，這個(gè)也是跟剛才說(shuō)的《數(shù)學(xué)幫幫忙》差不多的一本書，它也是一整套，有很多本，是韓國(guó)出版的，也是根據(jù)不同的數(shù)學(xué)話題，以漫畫形式呈現(xiàn)出來(lái)的。它讓小朋友根據(jù)不同的話題，看著漫畫書，然后做數(shù)學(xué)。
其實(shí)數(shù)學(xué)和科學(xué)是息息相關(guān)的兩個(gè)學(xué)科，我們還推薦大家這套書，《The Magic School Bus》這個(gè)已經(jīng)翻譯成中文版了，針對(duì)科學(xué)話題的一本書，然后自然，宇宙問(wèn)題，都有在里面講解。
那么年齡更大一點(diǎn)的小朋友，如果是對(duì)數(shù)學(xué)和科學(xué)學(xué)科非常深入，非常有興趣的小朋友，可以去看這本書，叫《別鬧了，費(fèi)曼先生》，費(fèi)曼是美國(guó)很有名的科學(xué)家，所以可以去看看，他又是一個(gè)特別好玩的科學(xué)家，所以去看看他到底是怎么回事。其實(shí)我們這個(gè)年代小朋友，往往他的偶像都是一些娛樂(lè)明星，如果真的能把一個(gè)科學(xué)家變成一個(gè)偶像，也是一個(gè)不錯(cuò)的事。
給家長(zhǎng)朋友推薦一本書，如果你有興趣，想深入地去了解教學(xué)方法，給大家推薦皮亞杰的《親子游戲育兒法》。
這本書已經(jīng)非常老了，但是皮亞杰確實(shí)是一個(gè)非常杰出的人。他是一個(gè)瑞士人，他是一個(gè)自然學(xué)家，也是一個(gè)哲學(xué)家，他真正對(duì)學(xué)數(shù)學(xué)最大貢獻(xiàn)，就是他最早提出的認(rèn)知發(fā)展理論，這個(gè)到現(xiàn)在對(duì)全世界都有非常深遠(yuǎn)的影響的一個(gè)理論，所以推薦大家去看皮亞杰的《親子游戲育兒法》。
最后我推薦家有9到13歲孩子的家庭，報(bào)名少年商學(xué)院線上線下結(jié)合的《小小數(shù)學(xué)家》實(shí)戰(zhàn)訓(xùn)練營(yíng)（今天晚上23：59報(bào)名截止，點(diǎn)擊“這里”搶占最后名額），本周開始連續(xù)四周的課程，每周五晚上一次視頻直播課，每周末孩子一次動(dòng)手實(shí)踐，之后提交創(chuàng)意作品，獲得導(dǎo)師點(diǎn)評(píng)，通過(guò)數(shù)字、圖形、商業(yè)、游戲四個(gè)領(lǐng)域中的趣味故事與探索， 充分激發(fā)對(duì)數(shù)學(xué)思維與學(xué)習(xí)熱情。
希望上述七本好書，和一門趣味數(shù)學(xué)課程，能夠給家長(zhǎng)朋友及孩子們帶來(lái)啟發(fā)。數(shù)學(xué)思維應(yīng)當(dāng)是每個(gè)孩子都掌握的一種思維，就像會(huì)吃飯穿衣一樣，我們不能因?yàn)閷W(xué)校教學(xué)方法的失當(dāng)，而導(dǎo)致學(xué)生最后喪失興趣。就像我今天的分享主題一樣，孩子天生就是數(shù)學(xué)家，讓我們一起呵護(hù)孩子的這種天性，而不是打擊它，磨滅它。
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